\section{Notions de physique quantique}  

La principale théorie alternative à la mécanique classique (nécessairement étendue par la théorie de la relativité) est la théorie quantique dite standard ou orthodoxe, élaborée par l'école de Copenhague (Bohr en tête).  Cette théorie prédit les probabilités de résultat d'expérience, autrement dit, la réalité empirique intersubjective, rien de plus.  Comme il ne s'agit plus à proprement parler d'une mécanique, puisque qu'elle renonce au déterminisme des événements, on préfère dire \og{}physique quantique\fg{}. (Physique signifie théorie de la nature, avec une composante expérimentale.  La mécanique classique est une physique, la physique quantique n'est pas une mécanique, au moins au premier abord.)  

La physique quantique est prétendue universelle : elle n'est pas supposée s'appliquer seulement à certaines régions de l'espace ou à la matière \og{}inerte\fg{} ou à une échelle très petite ; elle commande, au moins, tout ce qui est observable dans la nature, y compris les effets des organismes vivants, éventuellement dotés de cerveau. 

On ne connaît aucune manière communément intuitive de présenter la physique quantique.  On va procéder à l'aide de structures algébriques du genre espace vectoriel, bien que les mathématiques n'aient pas bonne presse, surtout quand elles ne correspondent pas à l'intuition commune.  Au passage, on peut remarquer que l'intuition commune est déjà incompatible avec le fonctionnement du gyroscope, qui est entièrement conforme à la mécanique classique, tout en préfigurant le spin quantique. 
% et encore plus par les effets quantiques, spin, tunnel ou superfluidité.    

Pour un système observé dans exactement deux états $F,P$ (comme face et pile ou spin $\pm1/2$), on utilise l'espace de Hilbert complexe $(\mathbb{C},\mathbb{C})=\mathbb{C}^{2}$, ensemble des couples de nombres complexes, muni de lois élémentaires : addition, multiplication par un nombre, multiplication hermitienne : $a,b,c,d$ étant des nombres complexes, 
\begin{eqnarray*}   
  (a,b)+(c,d)&=&(a+c,b+d),\\   
  a(b,c)&=&(ab,ac),\\   
  \<(a,b)|(c,d)\>&=&a\overline{c}+b\overline{d}, 
\end{eqnarray*} 
où $\overline{a}$ est le conjugué de $a$, c'est-à-dire, si $a=x+iy$ avec $x,y$ \og{}réels\fg{} et $i^{2}=-1$, alors $\overline{a}=x-iy$. Le module de $a$ est  
\[
\abs{a}=(a\overline{a})^{1/2}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
\]
Attention, les \og{}nombres réels\fg{} ont une définition mathématique bien précise, formulée à une époque où ils correspondaient à la réalité de la mécanique classique. 

On associe aux états $F,P$ les vecteurs $(1,0),(0,1)$.  On associe au système, à tout instant, un vecteur $(a,b)$, dont l'évolution est déterminée par une équation de Schr\H{o}dinger, qui s'obtient usuellement à partir de l'équation du mouvement classique par des règles de correspondance.  
% Bohr principe de correspondance 
L'équation de Schr\H{o}dinger  
\begin{itemize}  
\item est linéaire : l'ensemble des solutions est un espace vectoriel, autrement dit, sont solutions : la fonction nulle, la somme de deux solutions ou le produit d'une solution par un nombre ;   

\item est déterministe : une solution est déterminée en tout temps par sa valeur en un instant origine arbitraire ;  

\item est invariante par renversement du temps ;  
\item conserve la quantité  $\abs{a(t)}^2+\abs{b(t)}^2$ (on va voir bientôt pour quoi). 
\end{itemize}  

Le système peut être préparé dans l'état $F$ de manière reproductible (n'importe quand, n'importe où et par n'importe qui).  Selon la théorie, une observation à l'instant $t$ devrait révéler l'état $F$ avec la probabilité $\abs{a(t)}^2$ ou (exclusivement) l'état $P$ avec la probabilité $\abs{b(t)}^{2}$ et $\abs{a(t)}^2+\abs{b(t)}^2=1$. Les probabilités dépendent du temps, mais leur somme reste unitaire d'après la dernière propriété énoncée plus haut pour l'équation de Schr\H{o}dinger.  En répétant l'expérience un assez grand nombre de fois, on peut déterminer les probabilités statistiquement, avec une précision arbitraire.  
% construire le hamiltonien uniquement à partir des probas observées, 
% sans passer par le hamiltonien classique <=> théorie empirique